Хаос и Фракталы на Финансовых Рынках
Часть 1
2
3
4
5
6
7
J. Orlin Grabbe
Барабанный бой Прехтера
Роберт Прехтер (Robert Prechter) - барабанщик. Он столкнулся
со следующей проблемой. Он хотел ударить в свой
барабан три раза, с двумя интервалами
в таком отношении:
1<------------g-------------->2<--------------------h-------------------->3
Он хочет, чтобы отношение
первого интервала ко второму
было таким же, как отношение второго интервала ко
всему времени, требуемому для трех
ударов.
Пусть первый интервал (между
ударами 1 и 2) будет г,
а второй (между
ударами 2 и 3) - h.
Прехтер хочет. чтобы отношение г к
h было таким
же, как h к целому. Однако, целое -
это просто г + h, так что Прехтер
ищет такие г и h:
g / h = h / (g+h).
Хорошо. Прехтер ищет лишь
специфическое отношение. Ему все равно, играет он
на барабане медленно или
быстро. Так что h может быть каким угодно:
1 наносекунда, 1 секунда, 1 минута, или что-то подобное. Так что давайте
присвоим h = 1. (Обратите внимание,
что, регулируя h = 1, мы выбираем нашу единицу измерения.)
Мы тогда имеем
g / 1 = 1 / (1+g).
Умножая уравнение,
мы получаем
g2 + g – 1 = 0.
Это дает два решения:
g = [- 1 + 50.5] / 2 = 0.618033…,
и
g = [- 1 - 50.5] / 2 = -1.618033…
Первое, положительное решение (g = 0.618033 ‹) называется
золотым сечением. Используя h = 1
в качестве нашего масштаба
измерения, то g, золотое сечение,
будет решением отношения
g / h = h / (g+h).
По контрасту, если мы используем g
= 1 в качестве масштаба
измерения и найти h, мы имеем
1 / h = h / (1+h),
что дает уравнение
h2 - h – 1 = 0.
Что дает такие два решения:
h = [ 1 + 50.5] / 2 = 1.618033…,
и
h = [ 1 - 50.5] / 2 = -0.618033…
Обратите внимание, что, так как единицы измерения -
случайны, h требует столько же, как и
g для решения
барабанного боя Прехтера. Естественно, g и h
взаимосвязаны:
h (используя g
как единицу шкалы) = 1/ g (используя
h как единицу шкалы).
как для положительных,
так и для отрицательных решений:
1.618033… = 1/ 0.618033…
-0.618033… = 1/ -1.618033.
Каково значение отрицательных решений? Они также имеют физическое значение,
в зависимости от того, где мы размещаем начало
времени. Например, пусть второй
удар барабана будет во время t=0:
<------------g-------------->0<--------------------h-------------------->
Тогда мы находим, что для g = -1.618033, h =
1, мы имеем
-1.618033 /1 = 1/ [1 - 1.618033].
Так что отрицательные решения говорят нам то
же, что и положительные; они
привязаны к началу времени t = 0 для второго
удара барабана.
То же относится и к g = 1, h
= -0.618033, тогда
1 / -0.618033 = -0.618033/(1 – 0.618033),
Но в этом случае
время идет
назад, а не вперед.
Золотое сечение g, или его эквивалент
h можно найти повсюду
в природе. Этому предмету были посвящены
многочисленные книги. Эти же самые отношения
найдены и на финансовых рынках.
Симметричные Устойчивые Распределения и Закон
Золотого Сечения
В Части 5 мы видели, что симметричные
устойчивые распределения - распределения вероятности, фрактальные
по природе: сумма n независимых копий
симметричного устойчивого распределения связана с
каждой копией фактором масштаба n1/ a,
где a -
Гаусдорфова размерность данного симметричного
устойчивого распределения.
В случае нормального или Гауссового распределения, Гаусдорфова размерность
= 2, что эквивалентно размерности плоскости. Процесс Башелье, или
Броуовское движение (как описано в Части 2), управляется законом T1/a
= T1/2.
В случае распределения Коши (Часть
4), Гаусдорфова размерность = 1, что эквивалентно размерности
линии. Процесс Коши управлется законом T1/a
= T1/1 = T.
Вообще, 0 < a <=2. Это означает, что между
Коши и Нормалью располагаются все виды интересных распределений, включая
имеющих такую же Гаусдорфову размерность, как у ковра Серпинского (a
= log 8/ log 3 = 1.8927….) или кривой Коха (a =
log 4/ log 3 = 1.2618…).
Интересно, однако, что многие финансовые переменные имеют симметричные
устойчивые распределения с параметром a,
лежащим около величины h = 1.618033, где h
обратно золотому сечению g, полученному в предыдущем разделе.
Это подразумевает, что такие рыночные переменные следуют закону масштаба
времени T1/a = T1/h = Tg
= T0.618033... То есть эти переменные подчиняются
степенному закону T-к-золотому-сечению, по
контрасту с Броуновским движением, которое подчиняется степенному закону
T-к-половине.
Например, я оценивал a для дневных изменений
курса доллар/дойчмарка в течение первых шести лет после прорыва
Бреттон-Вудского Соглашения фиксированных курсов в 1973. [1] (Период
времени был с июля 1973 до июня 1979.) Величина a
была рассчитана, используя максимальные методы вероятности [2]. Значение,
которое я нашел, было
a = 1.62
с ошибкой плюс - минус .04. Вы не сможете подобраться намного ближе этого
к a = h = 1.618033…
На этом и других активах финансового рынка, похоже, масштабы времени не
согласуются с общепринятым законом квадратного -корня-T,
а следуют скорее закону Tg.
Динамическая Система Фибоначчи
Значение h = 1.618033…тесно связано с
последовательностью чисел Фибоначчи.
Последовательность чисел Фибоначчи - последовательность, в которой каждое
число является суммой двух предыдущих:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Посмотрите, третье число последовательности - 2=1+1. Следующее число -
3=2+1. Следующее - 5=3+2. И так далее, каждое следующее число является
суммой двух предыдущих чисел.
Эта математическая последовательность появилась в 1202 году в книге
Liber Abaci,
написанной итальянским математиком Леонардо да Пиза, более известного, как
Фибоначчи (сын Боначчи). Фибоначчи рассказал историю о кроликах. Это были
математические кролики, которые живут вечно, требуют одно поколение,
чтобы созреть, и всегда после этого имеют одно потомство в поколении. Так,
если мы начинаем с 1 кролика (первая 1 в последовательности Фибоначчи),
кролику нужно одно поколение, чтобы созреть (так что там все еще 1 кролик
в следующем поколении - вторая 1 в последовательности), потом появляется
маленький кролик в следующем поколении (уже 2 кролика - 2 в
последовательности), появляется новое потомство в следующем поколении (дающее
в целом 3 кроликов); затем, в следующем поколении, первый маленький кролик
созрел и также имеет ребенка, так что есть два потомства (дающее 5
кроликов в последовательности), и так далее.
Теперь, последовательность Фибоначчи представляет путь динамической
системы. Мы представили динамические системы в Части 1 этой серии. (В
Части 5 мы обсуждали концепцию набора Джулии, и использовали
специфическую динамическую систему - сложное логистическое уравнение -
чтобы создать компьютерное искусство в режиме реального времени, используя
Java апплет.)
Динамическая система Фибоначчи выглядит так:
F(n+2) = F(n+1) + F(n).
Число кроликов в каждом поколении (F(n+2)) равно сумме кроликов в
предыдущих двух поколениях (представлено F(n+1) и F(n)). Это пример более
общей динамической системы, которая может быть записана как:
F(n+2) = p F(n+1) + q F(n),
где p и q - некоторые числа (параметры). Решение системы зависит от
значений p и q, также как и от стартовых величин F(0) и F(1). Для системы
Фибоначчи мы можем упростить p = q = F(0) = F(1) = 1.
Я не буду вдаваться здесь в детали, но система Фибоначчи может быть решена
так:
F(n) = [1/50.5] { [(1+50.5)/2]n – [(1-50.5)/2]n
}, n = 1, 2, . . .
Следующая таблица дает значения F(n) для первых нескольких величин n:
|
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
F(n)
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
И так далее для остальной части чисел последовательности
Фибоначчи. Заметьте, что общее решение привлекает две величины, которые мы
предварительно рассчитали для h. Чтобы упростить, однако, мы
сведем все к первому из этих значений (а именно, h =
1.618033 …). Таким образом, мы имеем
h = [ 1 + 50.5] / 2 = 1.618033…, и
- 1/ h = [ 1 - 50.5] / 2 =
-0.618033…
Вставив это в решение системы Фибоначчи F(n), мы получаем
F(n) = [1/50.5] { [h]n – [-1/ h
]n }, n = 1, 2, . . .
С другой стороны, записав решение с использованием золотого сечения
g, мы имеем
F(n) = [1/50.5] { [g]-n – [-g]n
}, n = 1, 2, . . .
Использование отношений Фибоначчи на финансовых рынках популяризировал
Роберт Прехтер [3] и его коллеги, опираясь на работы Р. Н. Эллиотта [4].
Эмпирическая очевидность того, что Гаусдорфова размерность некоторых
симметричных устойчивых распределений, с которыми сталкиваются на
финансовых рынках, равна приблизительно a =
h = 1.618033…, указывает на то, что этот подход основан на
твердом эмпирическом основании.
Примечания
[1] См. "Research Strategy in Empirical Work with Exchange Rate
Distributions," in J. Orlin Grabbe, Three Essays in International
Finance, Ph.D. Thesis, Department of Economics, Harvard University,
1981.
[2] Есть две ключевые статьи DuMouchel, где дается обоснование,
необходимый для выполнения максимальных оценок вероятности
a , где a < 2:
DuMouchel, William H. (1973), "On the Asymptotic Normality of the
Maximum Likelihood Estimate when Sampling from a Stable Distribution,"
Annals of Statistics, 1, 948-57.
DuMouchel, William H. (1975), "Stable Distributions in Statistical
Inference: 2. Information from Stably Distributed Samples," Journal of
the American Statistical Association, 70, 386-393.
[3] См., например:
Robert R. Prechter, Jr.,
At the Crest
of the Tidal Wave, John Wiley & Sons, New York, 1995
Robert R. Prechter, Jr.,
The Wave
Principle of Human Social Behavior and the New Science of Socionomics,
New Classics Library, Gainesville, Georgia, 1999.
[4] See R.N.
Elliott’s Masterworks—The Definitive Collection, edited by Robert
R. Prechter, Jr., Gainesville, Georgia, 1994.
J. Orlin Grabbe - автор
книги "Международные Финансовые Рынки", и всемирно признанный эксперт по деривативам. Недавно он занялся криптологией, банковской безопасностью, и электронными деньгами. Его домашняя страница расположена по адресу
http://www.aci.net/kalliste/homepage.html.
from The Laissez Faire City Times, Vol 3, No 22, May 31, 1999
Оригинал статьи (на английском)
Перевод 2001 г. © Investo.ru
